Corrigé du brevet 2023 de mathématiques

corrigé de Mathématiques de 6ème, 5ème, 4ème, 3ème publié par dolphin, le 27/06/2023.
Corrigé du brevet 2023 de mathématiques.
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Exercice 2 (20 points)

Sur la figure ci-dessous :

  • BCDE est un rectangle, BAE est un triangle rectangle en A;
  • la perpendiculaire à la droite (CD) passant par A coupe cette droite en H;
  • les droites (AE) et (CD) se coupent en F.

On donne :

  • AB = BC = 4,2 cm ;
  • EB = EF = 7 cm.

1. Montrer que l'aire du rectangle BCDE est égale à 29,4 cm2.

ABCD est un rectangle. Aire de ABCD = Longueur \timeslargeur = BE \times BC = 7 \times 4,2 = 29,4 cm².
L’aire du rectangle est bien égale à 29,4 cm².

2. a. Montrer que la longueur AE est égale à 5,6 cm.

Le triangle ABE est rectangle en A.
Or d’après le théorème de Pythagore, on a
BE² = AB² + AE²
7² = 4,2² + AE²
49 = 17,64 + AE²
AE² = 49 - 17,64 = 31,36
AE = \sqrt{31,36} = 5,6 cm.
AE mesure bien 5,6 cm.

     b. Calculer l'aire du triangle rectangle ABE.

Aire du triangle ABE = \frac{bases\,\times\,hauteur}{2}=\frac{AB\times AE}{2}=\frac{4,2\times5,6}{2}=11,76\, cm^2
Le triangle ABE a une aire de 11,76 cm².

3. a. Montrer que les droites (ED) et (HA) sont parallèles.

On sait que (AH) \perp (CD) et (ED) \perp (CD)
Or si deux droites sont perpendiculaires à la même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (CA)//(BD)

      b. Calculer la longueur AH.

1ère méthode : 

avec le théorème de Thalès
On sait que
- (AH)//(ED)
- A, E, F sont alignés
- H, D, F sont alignés
ou
On sait que
- (AH)//(ED)
- (AE) et (CD) sont sécantes en F
Or d’après le théorème de Thalès, on a

\frac{FE}{FA}=\frac{FD}{FH}=\frac{ED}{AH}

\frac{7}{7 + 5,6}=\frac{FD}{FH}=\frac{4,2}{AH}

De \frac{7}{12,6}=\frac{4,2}{AH}

on obtient AH=\frac{12,6 \times4,7}{7}=7,56cm.

AH mesure 7,56 cm.

2ème méthode : 

 avec l’aire du triangle ABE
Si on appelle P, le point d’intersection de (AH) et (BE) alors AH = AP + PH.
Pour calculer AP, on se sert de la formule de l’aire mais avec, comme base, BE et ainsi
Aire du triangle ABE = \frac{bases\,\times\,hauteur}{2}=\frac{BE\times AP}{2}=\frac{7 \times AP}{2}=11,76\, cm^2
On résout l’équation \frac{7 \times AP}{2}=11,76
Donc AP=11,76\times2\div7=3,36.
Finalement AH = 3,36 + 4,2 = 7,56 cm.

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Remerciements

Ils ont dit "merci" à dolphin pour la publication de Corrigé du brevet 2023 de mathématiques : limily2a@hotmail.com (04/06/2024), mouniafennefoss (20/09/2023)