Exercice 2 (20 points)
Sur la figure ci-dessous :
- BCDE est un rectangle, BAE est un triangle rectangle en A;
- la perpendiculaire à la droite (CD) passant par A coupe cette droite en H;
- les droites (AE) et (CD) se coupent en F.
On donne :
- AB = BC = 4,2 cm ;
- EB = EF = 7 cm.
1. Montrer que l'aire du rectangle BCDE est égale à 29,4 cm2.
ABCD est un rectangle. Aire de ABCD = Longueur \timeslargeur = BE \times BC = 7 \times 4,2 = 29,4 cm².
L’aire du rectangle est bien égale à 29,4 cm².
2. a. Montrer que la longueur AE est égale à 5,6 cm.
Le triangle ABE est rectangle en A.
Or d’après le théorème de Pythagore, on a
BE² = AB² + AE²
7² = 4,2² + AE²
49 = 17,64 + AE²
AE² = 49 - 17,64 = 31,36
AE = \sqrt{31,36} = 5,6 cm.
AE mesure bien 5,6 cm.
b. Calculer l'aire du triangle rectangle ABE.
Aire du triangle ABE = \frac{bases\,\times\,hauteur}{2}=\frac{AB\times AE}{2}=\frac{4,2\times5,6}{2}=11,76\, cm^2
Le triangle ABE a une aire de 11,76 cm².
3. a. Montrer que les droites (ED) et (HA) sont parallèles.
On sait que (AH) \perp (CD) et (ED) \perp (CD)
Or si deux droites sont perpendiculaires à la même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (CA)//(BD)
b. Calculer la longueur AH.
1ère méthode :
avec le théorème de Thalès
On sait que
- (AH)//(ED)
- A, E, F sont alignés
- H, D, F sont alignés
ou
On sait que
- (AH)//(ED)
- (AE) et (CD) sont sécantes en F
Or d’après le théorème de Thalès, on a
\frac{FE}{FA}=\frac{FD}{FH}=\frac{ED}{AH}
\frac{7}{7 + 5,6}=\frac{FD}{FH}=\frac{4,2}{AH}
De \frac{7}{12,6}=\frac{4,2}{AH}
on obtient AH=\frac{12,6 \times4,7}{7}=7,56cm.
AH mesure 7,56 cm.
2ème méthode :
avec l’aire du triangle ABE
Si on appelle P, le point d’intersection de (AH) et (BE) alors AH = AP + PH.
Pour calculer AP, on se sert de la formule de l’aire mais avec, comme base, BE et ainsi
Aire du triangle ABE = \frac{bases\,\times\,hauteur}{2}=\frac{BE\times AP}{2}=\frac{7 \times AP}{2}=11,76\, cm^2
On résout l’équation \frac{7 \times AP}{2}=11,76
Donc AP=11,76\times2\div7=3,36.
Finalement AH = 3,36 + 4,2 = 7,56 cm.