Exercice 2 : (20 points)
Le Futuroscope est un parc de loisirs situé dans la Vienne. L'année 2019 a enregistré 1,9 million de visiteurs.
1) Combien aurait-il fallu de visiteurs en plus en 2019 pour atteindre 2 millions de visiteurs ?
2 millions – 1,9 million = 0,1 million = 100 000. Il aurait fallut 100 000 visiteurs supplémentaires
pour atteindre les 2 millions en 2019.
2) L'affirmation « II y a eu environ 5 200 visiteurs par jour en 2019 » est-elle vraie ? Justifier la réponse.
1,9 millions : 365 = 1 900 000 : 365 \approx5205 .
L’affirmation « II y a eu environ 5 200 visiteurs par jour en 2019 » est VRAIE.
3) Un professeur organise une sortie pédagogique au Futuroscope pour ses élèves de troisième.
Il veut répartir les 126 garçons et les 90 filles par groupes. Il souhaite que chaque groupe comporte le même nombre de filles et le même nombre de garçons.
a) Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres 126 et 90
126 = 2 x 63 = 2 x 3 x 21 = 2 x 3 x 3 x 7 et 90 = 2 x 45 = 2 x 5 x 9 = 2 x 5 x 3 x 3
b) Trouver tous les entiers qui divisent à la fois les nombres 126 et 90
1ère méthode : Les diviseurs communs sont les nombres obtenus grâce à la multiplication d’un ou plusieurs facteurs premiers communs.
Ainsi on obtient les 5 diviseurs suivants : 2 ; 3 ; 6 = 2 x 3 ; 9 = 3 x 3 et 18 = 2 x 3 x 3. A ces 5 diviseurs, nous pouvons rajouter le diviseur commun à tous les nombres 1.
2ème méthode : Les diviseurs de 126 sont
1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9
126 ; 61 ; 42 ; 21 ; 18 ; 14
Les diviseurs de 90 sont
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 9
90 ; 45 ; 30 ; 18 ; 15 ; 10
Les diviseurs communs sont 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 et 18
c) En déduire le plus grand nombre de groupes que le professeur pourra constituer. Combien de filles et de garçons y aura-t-il alors dans chaque groupe ?
Le professeur pourra constituer au maximum 18 groupes (le plus grand des 6 diviseurs).
126 : 18 = 7 90 : 18 = 5 Chaque groupe sera composé de 7 garçons et 5 filles.
4) Deux élèves de 3ème, Marie et Adrien, se souviennent avoir vu en mathématiques que les hauteurs inaccessibles pouvaient être déterminées avec l'ombre. Ils souhaitent calculer la hauteur de la Gyrotour du Futuroscope.
Marie se place comme indiquée sur la figure ci-dessous, de telle sorte que son ombre coïncide avec celle de la tour. Après avoir effectué plusieurs mesures, Adrien effectue le schéma ci- dessous (le schéma n'est pas à l'échelle), sur lequel les points A, E et B ainsi que les points A, D et C sont alignés.
Calculer la hauteur BC de la Gyrotour.
1ère méthode : avec le théorème de Thalès
On sait que (ED)\perp(AC)et(BC)\perp(AC)
Or, si deux droites sont perpendiculaires à la même troisième alors elles sont parallèles en elles.
Donc (ED)//(BC).
On sait que (ED)//(BC) et que A, E, B et A, D, C sont alignés.
Or d’après le théorème de Thalès, on a
\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{ED}{BC} soit \frac{AE}{AB}=\frac{2}{56,25}=\frac{1,6}{BC}
Donc BC=\frac{1,6 × 56,25}{2}=45.
La Gyrotour mesure 45 m de hauteur.
2ème méthode : avec les triangles semblables
On sait que ADE et ABC sont deux triangles rectangles avec un angle commun.
Or, si deux triangles ont deux angles de même mesure alors ils sont semblables.
Donc ADE et ABC sont semblables.
Or si deux triangles sont semblables, alors leurs côtés sont proportionnels deux à deux.
Coefficient de proportionnalité = \frac{AC}{AD}=\frac{54,25+2}{2}=28,125
D'où BC=1,6\times28,125 = 45.
La Gyrotour mesure 45 m de hauteur.
3ème méthode : avec un agrandissement
On sait que (ED)\perp(AC)et(BC)\perp(AC)
Or, si deux droites sont perpendiculaires à la même troisième alors elles sont parallèles en elles.
Donc (ED)//(BC).
On sait que ADE et ABC sont deux triangles rectangles avec leurs côtés parallèles deux à deux
Donc ABC est un agrandissement du triangle ADE de rapport k=\frac{AC}{AD}=\frac{56,25}{2}=28,125
D'où BC=28,125\times1,6=45.
La Gyrotour mesure 45 m de hauteur.