Exercice 1 (20 points)
Une famille se promène au bord d'une rivière.
Les enfants aimeraient connaître la largeur de la rivière.
Ils prennent des repères, comptent leurs pas et dessinent le schéma ci-dessous sur lequel les points C, E et D, de même que A, E et B sont alignés. (Le schéma n'est pas à l'échelle.)
AE=20\, pas
BE=5\, pas
BD=1\, pas
1.
Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
On sait que (AC) \perp (AB) et (BD) \perp (AB)
Or si deux droites sont perpendiculaires à la même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (CA)//(BD)
2.
Déterminer, en nombre de pas, la largeur AC de la rivière.
Pour les questions qui suivent, on assimile la longueur d'un pas à 65 cm.
On sait que (CA)//(BD) et que les points C, E, D ainsi que les points A, E, B sont alignés.
D'après le théorème de Thalès, on a
\frac{EC}{ED}\, =\, \frac{EA}{EB}\, =\, \frac{CA}{BD}
Soit \frac{20}{5}\, =\, \frac{CA}{1}
CA = 4 pas.
La rivière a une longueur de 4 pas.
3.
Montrer que la longueur CE vaut 13,3 m, en arrondissant au décimètre près.
On note que 1 pas vaut 65 cm.
CA = 4 pas soit 4 \times 65 = 260 cm
AE = 20 pas soit 20 \times 65 = 1300 cm.
On sait que AEC est un triangle rectangle en A.
D'après le théorème de Pythagore, on a
EC² = CA² + AE²
EC² = 260² + 1300²
EC² = 1 757 600
EC = \sqrt{1\, 757\, 600}
EC \, \approx 1 326 cm soit environ 13,3 m.
Attention : arrondir au dm près ne veut pas dire convertir en dm mais bien donner la réponse en mètre
avec 1 chiffre après la virgule (le chiffre nécessaire pour arriver à la case des dm dans un tableau de conversion)
4.
L'un des enfants lâche un bâton dans la rivière au niveau du point E.
Avec le courant, le bâton se déplace en ligne droite en 5 secondes jusqu'au point C.
a. Calculer la vitesse du bâton en m/s.
v=\frac{d}{t}\, =\, \frac{13,3 m}{5s}\, =\, 2,66m/s
Le bâton se déplace à 2,66 m/s
b. Est-il vrai que « le bâton se déplace à une vitesse moyenne inférieure à 10 km/h » ?
2,66 m/s veut dire que le bâton parcours
2,66 m en 1 s
soit 9576 m en 3600s
soit 9,576 km en 1h.
L'affirmation est vraie, la vitesse moyenne du bâton est inférieur à 10 km/h.
Autre méthode : 10\, km/h\, =\, \frac{10\, km}{1\, h}\, =\, \frac{10\, 000\, m}{3\, 600\, s}\, \approx\, 2,8m/s
2,66<2,8. L'affirmation est vraie, la vitesse moyenne du bâton est inférieur à 10 km/h.