Exercice 3 (20 points)
Une collectionneuse compte ses cartes Pokémon afin de les revendre.
Elle possède 252 cartes de type « feu » et 156 cartes de type « terre ».
1. a.
Parmi les trois propositions suivantes, laquelle correspond à la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 252:
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Proposition 1
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Proposition 2
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Proposition 3
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22\times9\times7
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2\times2\times3\times21
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22\times32\times7
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Proposition 3 : 252=2^2\times3^2\times7.
Seule cette réponse convient car dans les 2 autres propositions, un facteur n'est pas premier 9 pour la 1ère (9\, =\, 3\, \times\, 3) , 21 pour la 2ème (21\, =\, 3\, \times\, 7).
b.
Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 156.
156=2\times78=2^2\times39=2^2\times3\times13
2. Elle veut réaliser des paquets identiques, c'est à dire contenant chacun le même nombre
de cartes « terre » et le même nombre de cartes « feu » en utilisant toutes ses cartes.
a.
Peut-elle faire 36 paquets ?
36 ne divise pas 156, donc elle ne peut pas faire 36 paquets.
b.
Quel est le nombre maximum de paquets qu'elle peut réaliser ?
Comme elle doit utiliser toutes ses cartes et faire des paquets identiques, on cherche le plus grand diviseur commun. Ce plus grand diviseur commun est 2\times2\times3=12, ce sont les trois facteurs premiers communs aux deux décompositions. Elle pourra faire au maximum 12 paquets.
c.
Combien de cartes de chaque type contient alors chaque paquet ?
252=12\times21 et 156=12\times13
Donc il y aura 21 cartes de type "feu" et 13 cartes de type "terre" dans chacun des 12 paquets.
3.
Elle choisit une carte au hasard parmi toutes ses cartes. On suppose les cartes indiscernables au toucher.
Calculer la probabilité que ce soit une carte de type « terre ».
La probabilité pour que la carte tirée soit une carte de type "terre" est p(terre)\, =\, \frac{156}{156\, +\, 252}\, =\, \frac{156}{408}\, =\, \frac{13}{34}