Exercice 3 (22 points)
Sur la figure ci-dessous, on a :
- C un cercle de centre O et de rayon 4,5 cm ;
- [AB] est un diamètre de ce cercle et D est un point du cercle ;
- les points B, E, A sont alignés, ainsi que les points D, F, A ;
- les droites (BD) et (EF) sont parallèles ;
- BD = 5,4 cm ; DA =7,2 cm et AE = 2,7 cm.
1. Justifier que le diamètre [AB] mesure 9 cm.
Le cercle C a pour rayon 4,5 cm, son diamètre AB est donc de 2 \times 4,5 = 9 cm.
[AB] mesure bien 9 cm.
2. Démontrer que le triangle ABD est rectangle en D.
AB² = 9² = 81
AD² + DB² = 7,2² + 5,4² = 51,84 + 29,16 = 81
Comme AB² = AD² + DB², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ADB est rectangle en D.
Autre méthode :
On sait que ABD est un triangle inscrit dans un demi-cercle avec AB comme diamètre.
Si un triangle a pour sommet trois points d’un cercle et un côté comme diamètre alors ce triangle est rectangle et le diamètre est l’hypoténuse du triangle
Donc ABD est rectangle en D.
3. Calculer AF.
On sait que :
- (BD)//(EF)
- B, E, A sont alignés
- D, F, A sont alignés
Or d’après le théorème de Thalès, on a \frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AB}=\frac{FE}{BD}
De \frac{AF}{7,2}=\frac{2,7}{9} on obtient AF = \frac{7,2 \times2,7}{9}= 2,16 cm
AF mesure 2,16 cm.
4. a. Justifier que l'aire du triangle ABD est égale à 19,44 cm².
AiredeABD=\frac{base \times hauteur \, relative}{2}=\frac{BD \times AD}{2}=\frac{5,4 \times7,2}{2}=19,44cm^2.
Le triangle ABE a une aire de 19,44 cm².
b. Calculer l'aire du disque, arrondie au centième.
Rappel : l'aire du disque est égale à \pi\times R^2 , où R est le rayon du disque.
Aire\, du\, disque=\pi\times R^2=\pi\times4,5^2=\pi\times20,25\approx63,62cm^2
Attention : arrondir au centième veut dire prendre la valeur la plus proche de la valeur exacte entre la valeur approchée par défaut ou par excès.
Ici, entre 63,61 et 63,62, on choisit celle par excès car le chiffre des millièmes est un 7.
5. Quel pourcentage de I'aire du disque représente l'aire du triangle ABD ?
pourcentage=\frac{aire \, du \, triangle}{aire \, du \, disque}=\frac{19,44}{63,62}\approx0,305\, 6 soit 30,56%.
Le triangle représente 30,56% de l’aire du disque.
On acceptera 31% ou 30,6% ou encore 30,5% car il n’y a aucune indication d’arrondi dans cette question.