Exercice 5 (20 points)
Un club de natation propose un après-midi découverte pour les enfants.
PARTIE A
La présidente du club veut offrir des petits sachets cadeaux tous identiques contenant des
autocollants et des drapeaux avec le logo du club. Elle a acheté 330 autocollants et132 drapeaux
et veut tous les utiliser. Elle veut que, dans chaque sachet, il y ait exactement le même nombre
d'autocollants et que, dans chaque sachet, il y ait exactement le même nombre de drapeaux.
1. Pourquoi n'est-il pas possible de faire 15 sachets ?
330\div15=22
132=15\times8+12
Il resterait 12 drapeaux or la présidente veut tout utiliser. Autrement dit 15 n’est pas un diviseur commun à 330 et à 132.
Il n’est donc pas possible de faire 15 sachets.
2. a. Décomposer 330 et 132 en produits de facteurs premiers.
330=33\times10=3\times11\times2\times5
132=11\times12=11\times3\times4=11\times3\times2\times2.
b. En déduire le plus grand nombre de sachets que la présidente pourra réaliser.
Comme la présidente du club veut tout utiliser, le nombre cherché est un diviseur commun à 330 et 132. De plus on veut le plus grand nombre de sachets possible, on cherche donc le plus grand diviseur commun affecté du plus petit exposant à 330 et 132.
PGCD(132;330)=2\times3\times11=66
Méthode de calcul : Pour trouver le PGCD, on multiplie tous les facteurs premiers communs à 132 et 330.
La présidente pourra réaliser 66 sachets.
c. c. Dans ce cas, combien mettra-t-elle d'autocollants et de drapeaux dans chaque sachet ?
330\div66=5
132\div66=2
Dans chacun des 66 sachets, il y aura 5 autocollants et 2 drapeaux.
PARTIE B
La piscine a la forme d'un pavé droit représenté ci-dessous
Elle est remplie aux \frac{9}{10} du volume.
1 m^3 d'eau coûte 4,14 €.
Combien coûte le remplissage de la piscine ?
Volume\, du\, pavé\, droit=L\times l\times h=25\times15\times2=750\, m^3
\frac{9}{10}\times750=675\, m^3 Il faut 675 m^3 d’eau pour remplir la piscine au \frac{9}{10}.
675\times4,14=2794,5 Le remplissage de la piscine coûte 2 794,50€.
La question étant mal formulée, on pouvait aussi considérer que la piscine était déjà remplie et qu'il fallait simplement calculer le prix du dixième manquant. Dans ce cas, on obtient le résultat suivant :
750\div10\times4,14=310,50\euro